Résumé :

Nous présentons le phénomene de la résonance stochastique qui
consite en la possibilite d'améliorer la transmission ou la détection
de signaux dans certains systèmes non linéaires au moyen d'un ajout
de bruit dans le système (intéraction signal/bruit).
Après une présentation générale du phénomène, nous détaillons nos
contributions propres.

Théorie générale du phénomène pour la RS périodique.
Explorations de la RS apériodique.
Applications aux neurones.

Etude de la RS dans des systèmes autoregressif à temps discret.
Modélisations théoriques.
Résultats de simulations.

Consiste en l'amélioration de la transmission/détection d'un signal par l'ajout de bruit.

On considère:

• un système non linéaire que l'on soumet en entrée à :
• un signal cohérent s(t) (ou utile)
• auquel on ajoute un bruit n(t)
• le système produit une sortie y(t)

La résonance stochastique permet d'augmenter R en augmentant le niveau du bruit. 

Mis en évidence pour :
Lasers,
McNamara et al., Phys. Rev. Lett. (1988).

Circuits électroniques,
Fauve et al., Phys. Lett. A (1983).

Systèmes magnétiques,
Gammaitoni et al., Phys. Rev. Lett. (1991).

Réactions chimiques,
Dykman et al., J. Chem. Phys. (1995).

Neurones,
Bulsara et al., J. Theor. Biol. (1991).

Pour une bibliographie complete sur la résonance stochastique :
Stochastic Resonance Home Page in Perugia (italy).

-> c'est dans ce type de système que la RS a été mise en évidence pour la première fois.

On calcule la fonction d'autocorrélation en sortie.
-> Densité spectrale de puissance:

le spectre est constitué d'une fond continu, dont l'amplitude dépend de l'influence du bruit, sur lequel se superposent des raies spectrales aux harmoniques de la fréquence du signal utile périodique.
La RS se caractérise à ce niveau par la possibilité d'observer des raies qui se détachent de façon plus prononcée par rapport au fond continu.

-> Le rapport signal sur bruit RSB=S/B permet de quantifier le phénomène,
S étant l'amplitude d'une raie, B l'amplitude du fond continu autour de la raie.

En présence de résonance stochastique, le raport signal sur bruit commence par augmenter au fur et à mesure qu'on augmente le niveau de bruit  à partir de 0 et ce jusqu'à un niveau optimal du bruit au delà duquel le RSB diminue:

/ kramlog.ps 

1. Résonance stochastique périodique dans les systèmes décomposables en :
une non-linéarité statique, suivie d'un système dynamique linéaire.
Chapeau-Blondeau & Godivier, Phys. Rev. E (1997).

Dans ce type de système la RS est apportée par la non-linéarité statique,

-> analyse statistique directe,

-> calcul explicite de la méthode générale: (autocorrélation, DSP, RSB).

-> Densité spectrale de puissance :

Pyy(nu)=moy(var(y))+somme(de n=-infty à +infty) moy(|Yn|²delta (nu-n/Ts)

avec :

moy(Yn)=1/Ts* intégrale(de 0 à Ts) E[y(t)]exp(-i*2pi n/Ts) dt
E[y(t)]=intégrale(de -infty à +infty) g(u) fn[u-s(t)]du ,

 moy(var(y))=f1/Ts intégrale(de 0 à Ts) var[y(t)]dt
 var[y(t)]=E[y²(t)]- E²[y(t)]

E[y²(t)]=intégrale(de -infty à +infty) g²(u) fn[u-s(t)]du

R(n/Ts)=moy(|Yn|²*var(y))

-pour toute distribution de bruit fn(u),
-toute entrée périodique s(t) de période Ts et
-toute fonction g représentant la non-linéarité statique. 

/rscirc02.ps

Si s(t)+n(t)>Vth alors y(t)=+Vsat;
                         sinon y(t)= -Vsat

pour s(t)<Vth le signal ne peut être transmis seul
par l'ajout du bruit n(t), la coopération de s(t) et n(t) permet de franchir le seuil Vth et d'obtenir un signal en sortie.
Ce signal est corrélé avec s(t) de façon optimale pour une amplitude optimale du niveau de bruit.

s(t) signal utile apériodique.

Nouvelles mesures :

*Mesures d'intercorrélation,
Collins et al., Phys. Rev. E (1995).
Vaudelle, Gazengel, Rivoire, Godivier, Chapeau-Blondeau., J. Opt. Soc. Am. (1998).

*Mesures issues de la théorie de l'information,
Bulsara et al., Phys. Today, (1996) ;
Chapeau-Blondeau, Phys. Rev. E (1997).

Nous avons réalisé deux illustrations :
*Système non linéaire statique.
Chapeau-Blondeau, Phys. Rev. E (1997).
*Système non linéaire dynamique.
Godivier & Chapeau-Blondeau, Int. J. of Bif. & Chaos. (1998). 

Non-linéarité statique à deux seuils
Chapeau-Blondeau, Phys. Rev. E (1997).
Godivier & Chapeau-Blondeau, AGIS(1997).

X, variable aléatoire discrète, X=+1 ou -1,
N variable aléatoire continue, de fonction de répartition F(u)= Pr{N< Y=-1},
-theta < X+N < theta -> Y=0,
X+N > theta -> Y=1.
Calcul des probabilités de transfert entrée-sortie :
P(Y=1|X=1)=1-F(theta-1)
P(Y=-1|X=-1)=F(-theta+1) etc...

-> information transmise par le canal : I(X,Y)=H(Y)-H(Y|X).

-> capacité informationnelle du canal : C=maxI(X,Y).

expressions calculées explicitement, en fonction des propriétés du bruit.

-> résonance de C. 

avec un bruit N gaussien
-> deux régimes de fonctionnement :

theta<1
-> C décroît avec le niveau de bruit.

theta>1
-> C peut être augmentée par une élévation du niveau de bruit.

/capa9.ps (courbes pour theta=0.8 à 1). 

Transmission d'un stimulus analogique (sinusoïde), superposé à un bruit :
Bulsara et al., J. Theor. Biol. (1991).
Douglass et al., Nature (1993).

Transmission des trains de potentiels d'action :

Neurone intègre-et-tire,
Chapeau-Blondeau, Godivier, Chambet, Phys. Rev. E (1996).

Neurone plus réaliste à dynamique des conductances,
Godivier & Chapeau-Blondeau, Europhys. Lett. (1996).

Avec bruit membranaire,
Chapeau-Blondeau & Godivier, Int. J. Bifurcation & Chaos (1996).

Neurone intègre-et-tire avec bruit externe.
Chapeau-Blondeau, Godivier, Chambet, Phys. Rev. E (1996).

En entrée :
un train de PA périodique s(t)=somme(sur n) delta(t-nTs)
et un train de PA de bruit n(t)=somme(sur k) delta(t-tk)
avec les temps tk poissonniens.

Le neurone intègre alors les deux signaux :
Tm dV/dt=-V(t)+w*s(t)+w*n(t). (w poids synaptiques)

En sortie :
Si V(t)=Vth alors  y(t)=delta(t'-t), V(t)=0
                  sinon  y(t)=0.

On observe une coopération entre PA cohérents et PA de bruit pour tirer en sortie. 

Calcul de l'autocorrélation du signal y(t) en sortie du système :
Cyy(tau)=E[y(t) y(t-tau)].
->Densité spectrale de puissance :

-> RSB en fonction de la puissance du bruit :
    augmentation du RSB en augmentant la puissance du bruit jusqu'à une valeur optimale
-> mise en évidence de la résonance stochastique.

* Possibilité d'extraire de l'ordre hors du désordre.

* Rôle dans le traitement non linéaire du signal réalisé par les neurones.

* Applications technologiques, pour la détection de faibles signaux bruités.

Vous pouvez lire aussi le texte d'une publication au colloque Agis 97